在实际工作中，通常需要收集众多变量以全面分析问题。然而，变量增多意味着需要更大的样本量和更复杂的模型，且可能引发变量间的严重多重共线性。为了充分有效地利用数据，人们希望用较少的新指标代替原来较多的旧变量，同时要求这些新指标尽可能地反映原始变量的信息。主成分分析和因子分析正是解决此类问题的有效方法，它们能够充分提取变量信息，减少分析变量个数，从而使问题更加简单直观，数据更加容易进行分析和处理。

举个简单例子，假设一个百万人的大型公司要对某项改革措施征询所有员工的意见，在传统的纸质函询时代，对每一个人都询问一遍显然太过费事，如果能对一部分具代表性的人进行询问，结果既具代表性又具高度可行性。在这个过程中有两个关键点：一是被询问的部分人群如何尽可能代表这百万人的意见，如果代表性不强，那么结果会存在较大偏差。二是被询问的人数如何尽可能的少，如果还要调查50万人，那么显然工作量并未显著降低，如果调查1万人，甚至1000人就可以，那实际操作性明显高多了！主成分分析的核心其实就体现在这个信息浓缩过程中，如何保障信息少丢失、又使提取的变量不要过多？

一、基本原理

假设X1、X2两个变量之间存在高度共线性，用散点图表示其关系如图所示。

显然，两个变量之间存在明显相关性，如果直接将它们纳入模型，将难以避免多重共线性问题。要多这两个变量进行信息浓缩，其本质就是处理数据变异。在图中，散点构成了一个明显的椭圆形，该椭圆长轴方向上数据的变异明显大于短轴方向。沿着椭圆的长短轴方向设定一个新的坐标系，如图红线所示，则新产生的这两个变量和原始变量间存在着数学换算关系。但是这两个新变量彼此不相关，且信息量的分布显然不同：长轴方向上的变量携带了大部分数据的变异信息，而短轴方向上的变量只携带了一小部分变异信息。此时，只需使用长轴方向上的新变量，就可代表原先两个变量的大部分信息，从而达到了降维的目的。显然，两变量间的相关性越强，椭圆的长短轴就相差得越大，降维则越有价值。

二、前提条件

1. 原始数据的变量足够多。

2. 原始数据各变量之间的共线性或相关关系较强，如果原始变量之间的线性相关程度很小，它们之间不存在简化的数据结构，这时进行主成分分析实际上是没有意义的。

三、主成分分析的应用

主成分分析是一种特征提取的方法。PCA主要用于解决信息浓缩问题，也应用于发现数据中的基本结构，即数据中变量之间的关系。PCA往往是大型研究中的中间环节，也用于发现其他啊机器学习方法的前处理。最典型的应用为：（1）主成分评价；（2）主成分回归

四、优缺点

(一) 优点

• 仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外因素的影响。
• 各主成分之间正交，可消除原始数据成分间相互影响的因素。
• 计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。

(二) 缺点

• 主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。
• 方差小的非主成分也可能含有重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。

来源：【梦特医数通】