一、问题与数据

最大携氧能力（maximal aerobic capacity，VO2 max）是评价人体健康的关键指标，但测量方法复杂，不易实现。具体原因在于，它不仅需要昂贵的试验设备，还需要研究对象运动到个人承受能力的极限，无法测量那些没有运动意愿或患有高危疾病无法运动的研究对象。因此，某研究者拟通过一些方便、易得的指标建立研究对象最大携氧能力的预测模型。

该研究者已知研究对象的年龄和性别与最大携氧能力有关，但这种关联强度并不足以建立回归模型，预测最大携氧能力。因此，该研究者拟逐个增加体重（第3个变量）和运动后心率（第4个变量）两个变量，并判断是否可以增强模型的预测能力。

研究者共招募100位研究对象，分别测量他们的最大携氧能力（VO2 max），并收集年龄（age）、性别（gender）、体重（weight）和运动后心率（heart_rate）变量信息。部分数据图1。

图1 部分数据

二、对问题分析

研究者已知某些自变量（age和gender）与因变量（VO2 max）有关，拟判断逐个增加自变量（weight和heart_rate）后对因变量预测模型的改变。针对这种情况，我们可以使用分层回归分析，但需要先满足以下8项假设：

假设1：因变量是连续变量。

假设2：自变量不少于2个（连续变量或分类变量都可以）。

假设3：各观测值之间相互独立，即残差之间不存在自相关。

假设4：因变量和自变量之间存在线性关系。

假设5：残差的方差齐。

假设6：不存在多重共线性。

假设7：没有显著异常值。

假设8：残差近似正态分布。

假设1和假设2与研究设计有关。本研究数据符合假设1和2。如何考虑假设3-8呢？